有理数和无理数|从有理数与无理数的比较开始

有理数和无理数（从有理数与无理数的比较开始）
有理数有无数个
无理数也有无数个
那谁更多？还是一样多？
无穷与无穷，是否可以比出谁多谁少？
数轴上的点对应有理数或无理数？

【有理数和无理数|从有理数与无理数的比较开始】

那有理数和无理数又是如何在数轴上分布？

NO.1如何比较无穷

当我们比较有限的数量时，只要比较具体的数字谁大即可。鸡有两条腿，兔有四条腿，所以兔子腿更多。有理数有无数个，无理数也有无数个，或许我们可以认为是都是无数个，都是数不完的，那就一样多呗，但实际上无限也可以分出大小，因为比较有限数量的方法并不能用于无穷的情况。

如何比较无穷？

所有的正数和负数一样多。

在正数集里任取一个正数，在负数集合里都能找到唯一确定的一个负数与其相对应，比如正数集中取1，负数集里会有-1，正数集里取，负数集里会有-，有一个正数，就会有一个相应的负数。

我们可以在正数集和负数集间建立一种一一对应的关系。所以正数与负数是一样多。

同样的道理，我们可以得出奇数和偶数是一样多的。

任取一个奇数2n-1，都会有一个偶数2n与其相对应，同样我们可以在奇数集和偶数集之间建立这种一一对应的关系，所以奇数和偶数也是一样多的。

我们把集合里元素的数量称为集合的基数，比如集合{1}的基数为1，集合{1,2}的基数为2 。

判断无穷集合基数相等的方法便是：能够两个集合之间建立起一种一一对应的关系。

NO.2整体可以等于部分

如果关于无穷的比较都像上面那么简单就好了，接下来我们继续看。

所有的偶数和所有的整数一样多。

What？偶数不是和奇数一样多吗？奇数和偶数一起构成了整数，偶数怎么和整数也一样多了？

整数集合里任取一整数n，在偶数集合里都会有一个数2n与其相对应，所以我们依然可以在整数集和偶数集之间建立起一一对应的关系，在偶数集里任取一个偶数，在整数集里都会有一个唯一确定的元素与其相对应。

整体等于部分！这是我们在有限里不可能存在的情况，但在无穷集合里，却真真实实地发生了。

如果对于数没感觉百思特网我们再来看个图形的例子，在△ABC中，假定BC边为2，DE是BC边所对的中位线，所以DE=1，在BC边上任取点M，连接AM，则AM必与DE有一交点，记为N 。任取一个M点都会有一个N点与其相对应。

这说明：长度为2的线段上的点与长度为1的线段上的点是一样多的！！！

格奥尔格康托尔甚至以此作为无穷集合的定义：如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应的关系，它就是无穷集合。

了解了无穷这一性质，那我们得出这么一个结论：自然数、偶数、整数都是一样多的。或许你会质疑既然他们都无穷，那就数量都一样呗，还需要讨论这么多嘛？

需要，之所以说这几个集合基数相等，是因为它们还有一个共同的特点：可数。

所谓可数，可以理解为能够找到一种规则把所有的数列出来，然后就可以按着这个顺序一直数下去。

比如自然数，0,1,2,3,4,5……，比如偶数，0,2-2,4-4,6-6……而只要能全部列出来，就可以建立一一对应的关系，依次按顺序对应就好了，甚至都不用弄明白具体的规则是什么，所以只要是可数无穷，就可以说集合里元素数量是一样多的。

NO.3有理数可数吗？可数

有理数可以表示为q/p的形式，取正有理数部分，我们可以按p+q的值由小到大来列出所有正有理数，具体的顺序可以参照下图。

按上述规则，可列出所有正有理数，负有理数亦可以列出来。

所以有理数集也是可数集。