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物理中的几何之美——等时曲线，一个反直觉的猜想，了不起的发现

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物理中的几何之美——等时曲线，一个反直觉的猜想，了不起的发现

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等时曲线是由荷兰物理学家、数学家、天文学家和发明家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）发现的 。它是指物体在均匀重力场中（无摩擦）滑动到最低点所花费的时间与其起始点无关的曲线 。
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  • 图1：惠更斯和他的书《钟摆论》的首页
摆线
他的几何学证明上面描述的曲线是一个倒摆线（见下面的定义）发表在他1673年出版的《摆钟论》一书中 。《钟摆论》被认为是17世纪最伟大的三部力学作品之一 ， 另外两部著作分别是伽利略的《关于两门新科学的论述和数学论证》和艾萨克·牛顿的《自然哲学数学原理》 。
根据定义，摆线是圆沿直线滚动时点所描出的曲线 。如图2所示的红色曲线 。
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  • 图2：摆线是圆上的一点沿直线滚动所描出的曲线
有趣的是，赫尔曼·梅尔维尔（Herman Melville）的著作《白鲸记》（Moby Dick, 1851）中提到了摆线的这一特性：
（试验台）也是一个进行深刻数学思考的地方 。正是在“裴廓德号”的左手边，当皂石在我周围不停地转着的时候 ， 我首先间接地注意到这样一个惊人的事实 ， 那就是，在几何学上，一切物体都是沿着摆线滑行的，譬如说，我的皂石，就会在同一时刻，从任何一点落下来 。

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  • 图3：摆线在美国作家赫尔曼·梅尔维尔（Herman Melville） 1851年的著作《白鲸记》中提到 。
计算时间
【物理中的几何之美——等时曲线，一个反直觉的猜想，了不起的发现】现在我们将用基本的微积分技术来证明等时曲线是一个摆线 。在惠更斯的证明之后 ， 其他许多著名的数学家（包括拉格朗日和尼尔斯·亨里克·阿贝尔）用不同的方法证明了这个猜想 。
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  • 图4：牛顿使用“牛顿摆”展示了能量守恒和动量守恒 。
假设球从静止状态释放 。能量守恒定律给出：
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  • 式1：总能量守恒
K和T分别为球的动能和势能 。很快就会看到 ， 在O，A，C处释放的球会同时到达B 。
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  • 图5
利用勾股定理：
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  • 式2：线元素 。
分离时间变量，则等式1的右侧为：
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  • 式3：球从O点到点(x, y)所需要的时间 。
τ为球从O到(x,y)所花费的时间 。代入下式4（摆线的参数表示）：
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  • 式4：摆线的参数方程 。
然后消掉(1-cos θ)因子，通过简单的积分得到：
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  • 式5：球沿摆线以与θ角相对应的弧线滑动的时间
现在，我们需要证明τ独立于θ 。为了做到这一点，我们使用下面的基本运动学方程：
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  • 式6：ds/dt与垂直坐标y和y_0 。常数y_0是球的初始静止位置 。
将θ变换为(θ-θ?)，时间间隔τ变成：
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现在做替换：
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我们得到了正弦函数的逆函数的积分 。
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  • 图6：四个球从不同位置开始沿着一个摆线滑动，同时到达底部（上面是时间图） 。
我们最终的结果是：
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  • 式7：球沿摆线向下滑动所需的时间与它的初始位置无关 。
因此，我们如预期的那样，确认球沿摆线滑动所需的时间是恒定的，与它的初始位置无关（见图6） 。
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