阿基里斯与龟悖论解释,为什么说阿基里斯追不上乌龟

1、为什么说阿基里斯追不上乌龟如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的" 1-0.999…>0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1-0.999…=0 ，但1-0.999…>0"思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999…=0，或1-0.999…>0"思想。
有人解释道：若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。
芝诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑到终点。
类似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题，我们可以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间，那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢？然而问题出在这里：我们在这里有一个假定，那就是假定阿基里斯最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。上面说到无穷个步骤是难以完成。
以上初等数学的解决办法，是从结果推往过程的。悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远，在于这个芝诺与我们采取了不同的时间系统。人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而芝诺的解释则采取了离散的时间系统。即无论将时间间隔取的再小，整个时间轴仍是由有限的时间点组成的。换句话说，连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限。
其实这归根到底是一个时间的问题。譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s，乌龟在前面100m 。实际情况是阿基里斯必然会在100/9秒之后追上乌龟。按照悖论的逻辑，这100/9秒可以无限细分，给我们一种好像永远也过不完的印象。但其实根本不是如此。这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完这1秒，因为无论时间再短也可无限细分。但其实我们真的就永远也过不完这1秒了吗？显然不是。尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但其实时间的流动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无?。涫导悠鹄粗皇歉龀Ｊ眩簿褪?秒。所以说，芝诺的悖论是不存在的。
芝诺是古希腊一个极善于诡辩的哲学家。他的一个众人皆知的“阿基里斯永远追不上乌龟”的诡辩是这样的：阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。假设乌龟先爬一段路然后阿基里斯去追它。芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟。因为前者在追上后者之前必须首先达到后者的出发点，可是，这时后者又向前爬了一段路了。于是前者又必须赶上这段路，可是这时后者又向前爬了。由于阿基里斯和乌龟之间的距离可依次分成无数小段，因此阿基里斯虽然越追越近，但永远追不上乌龟。显然，这个结论在实践上是错误的，但奇怪的是这一论证在逻辑上似乎没有任何毛病。但用微积分的思想,却可以发现:
由于这段路程被分成了无数小段，而根据芝诺的推论,在每一个小段里，阿基里斯是永远追不上乌龟的。这显然是正确的。可是，我们可以看到，这无数个小段加起来,阿基里斯就刚好可以追到。这涉及到等比无穷数列问题。如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线，曲线与曲线的渐近线是没有交点的,所以，用微积分的思想是不能证明的，除非曲线与曲线的渐近线是有交点的。
芝诺是古希腊一个极善于诡辩的哲学家。他的一个众人皆知的“阿基里斯永远追不上乌龟”的诡辩是这样的：阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。假设乌龟先爬一段路然后阿基里斯去追它。芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟。因为前者在追上后者之前必须首先达到后者的出发点，可是，这时后者又向前爬了一段路了。于是前者又必须赶上这段路，可是这时后者又向前爬了。由于阿基里斯和乌龟之间的距离可依次分成无数小段，因此阿基里斯虽然越追越近，但永远追不上乌龟。显然，这个结论在实践上是错误的，但奇怪的是这一论证在逻辑上似乎没有任何毛病。但用微积分的思想,却可以发现:
由于这段路程被分成了无数小段，而根据芝诺的推论,在每一个小段里，阿基里斯是永远追不上乌龟的。这显然是正确的。可是，我们可以看到，这无数个小段加起来,阿基里斯就刚好可以追到。这涉及到等比无穷数列问题。如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线，曲线与曲线的渐近线是没有交点的,所以，用微积分的思想是不能证明的，除非曲线与曲线的渐近线是有交点的。
首先阿基里斯必须跑到乌龟的出发点，这样，乌龟总是领先阿基里斯一段路。
假设乌龟超前1000米，阿基里斯以百倍与乌龟的速度向前赶，当阿基里斯跑的乌龟的原来位置时，乌龟前进了10米；当阿基里斯跑完这10米距离时，乌龟又前进了1分米；……如此下去，阿基里斯固然可以不断缩短同乌龟的距离，但始终处与乌龟的后面。
这是一个谬论，学了极限之后你就可以证明了。
空间和时间不是可以无限分割的，所以有一段时间是最微小的，阿基里斯和乌龟共同前进一个空间单位，然后超过乌龟。
2、物理四神兽――芝诺的龟物理学中有非常多的思想实验，其中有四个比较出名，即芝诺的龟、拉普拉斯的妖、麦克斯韦的妖和薛定谔的猫。这四个思想实验中的龟、妖、妖和猫也被戏称为物理学四大神兽。从本篇开始，我将写四篇文章对上述四个思想实验做较为深入的解读和分析。
一、芝诺悖论的四种表述
芝诺的龟出自于芝诺佯谬（也叫芝诺悖论，Zeno’s paradox），而实际上，类似的悖论在中国古代的《庄子·天下篇》中就有描述。
芝诺佯谬来自于亚里士多德在其《物理学》的第VI卷中的转述，共有四个版本：
1、二分法悖论。如图1所示，现在有一个运动员从起跑点出发往终点跑去。他要想跑到终点，就必须先到达全程的一半处，而要想到达一半处，必须先到达1/4处，这个过程可以无限的进行下去，所以，他永远到达不了终点，或者说，他根本动不了。
<figcaption>图1 二分法示意图</figcaption>
2、阿基里斯和龟。如图2所示，阿基里斯追前面的一只乌龟，阿基里斯的速度大于乌龟的速度。初始时乌龟处于A1处，等阿基里斯跑到A1处时，乌龟已经爬到A2处了；当阿基里斯再赶到A2处时，乌龟已经爬到A3处了……虽然每次追赶的距离越来越小，但是这个过程却是可以永远的进行下去的，因此阿基里斯永远追不上乌龟。
<figcaption>图2 阿基里斯和龟</figcaption>
3、飞矢不动。如图3所示。一支飞行的箭是静止的。由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态。《庄子·天下篇》说的也是这个道理：疾飞之箭，每一瞬间箭既在某点，又不在某点，即所谓的“不行”“不止”，也就说箭既不动也不停，辩证的意味深远。另外，中国古代的名家慧施也提出过“飞鸟之景，未尝动也”的类似说法。
<figcaption>图3 飞矢不动</figcaption>
4、运动场。假设在操场上有观众席A，列队B、C ，如图4所示，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。
<figcaption>图4 运动场队列示意图</figcaption>
以上是芝诺悖论的四种表述，这四种可分为两组，前两个假设时空连续，后两个假设时空是分立的。本文对悖论里的哲学辩证思想不做任何讨论，只从数学的角度探讨阿基里斯和龟悖论的原因，另外三个悖论感兴趣的读者可以自行研究。
二、阿基里斯和龟
本节我们详细推导一下阿基里斯追不上乌龟的数学原理。实际上，这个悖论的本质是两种不同的度量的比较，一个普通的时间度量，在这个度量下阿基里斯最终追上了乌龟，另一个我们姑且称作“芝诺钟“”，在这个度量下，即使时间趋向于正无穷，阿基里斯也追不上乌龟。
假设开始时阿基里斯与乌龟相距
，二者的速度分别为
和，显然。在普通钟下，当时阿基里斯追上乌龟。而对于芝诺钟，每次阿基里斯到达乌龟本来所在的地方时，其“滴答”一下，也就是其值加一。因此，普通钟和芝诺钟的关系为：
<figcaption>图5</figcaption>
因此有限的芝诺钟时间下阿基里斯是追不上乌龟的。
三、分析和讨论
阿基里斯与乌龟本质上来说就是对时间度量做了一个变换，把正常世界的时间映射到芝诺度量下，用芝诺钟的指示看运动，结论自然不一样。既然这是一个“佯谬”或者“悖论”，就说明这肯定是错误的。
也有人用量子力学中的“时空是离散的”这样的结论来证明芝诺悖论是不成立的，实际上这是不对的。首先，芝诺悖论提出的时候和量子力学并没有关系，其中的时空不连续也是辩证意义上的；其次，量子力学的时空是离散的并不是严谨的表达，实际上量子力学中并不存在时空离散这样的理论或者结论，具体的内容此处不过多说明。总而言之，芝诺悖论与量子力学扯不上关系。
阿基里斯与龟的悖论来自于芝诺钟的局限性，芝诺钟所能描述的时间范围只是普通钟的一段，那么，我们所使用的普通钟是否也有局限性呢？答案是有的！普通钟不能用来度量物体落入黑洞之后的过程，而物体向黑洞掉落的过程也需要无穷大的普通钟时间。因此，为了描述与黑洞相关的现象，我们也需要找到一个新的钟来度量这些过程。有兴趣的读者可以自行了解广义相对论的内容。
历史上，人们很早就开始怀疑“速度”这个量，这其中充满了哲学的味道。相传，在芝诺挑战运动现实性的时候，希腊哲学家、犬儒注意的代表性人物第欧根尼（Diogenes，412~323BC）以反对者的面貌出现——他站起来，一言不发地走了几个来回，然后又坐下，以此当做他优雅地反驳了芝诺。
注：本文部分内容引用国科大赵亚溥老师的力学讲义和维基百科，文中图片均来源于网路。
3、兔子和乌龟赛跑的逻辑悖论的谜题,解决了吗?这个其实就是芝诺的阿基里斯和乌龟赛跑悖论：
“他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10,乌龟仍然前于他10米。当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米……
芝诺解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。”
我先讲一些我自己理解的，比较浅显：假定乌龟的速度是v ，则阿基里斯的速度10v，假定阿基里斯走s米被赶上，则
s/10v=（s-1000m）/v 解得s=10000/9m
则t=s/10v=1000m/9v
也就是说芝诺所说的阿基里斯不可能追上乌龟，就隐藏着时间必须小于1000m/9v这样一个条件。
由于阿基里斯和乌龟是在不断地运动的，对时间是没有限制的，时间很容易突破1000m/9v这样一个条件。一旦突破1000m/9v这样一个条件，阿基里斯就追上了或超过了乌龟。
其实悖论这个东西远没有这么简单，它的成因极为复杂且深刻，往往由人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致。这就涉及很多思维逻辑，以至哲学方面的东西，关于这一方面其实我也不很懂，只不过浅层的分析一下罢了，
下面为官方解释：【“芝诺悖论”错在哪里?】
芝诺悖论的产生原因，是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。
阿基里斯悖论的哲学辨析
阿基里斯悖论分离了运动与静止，把运动绝对化，否定客观标准。是相对主义诡辩论。黑格尔在《小逻辑》中说：“辩证法切不可与单纯的诡辩相混淆。诡辩的本质在于孤立起来看事物，把本身片面的、抽象的规定，认为是可靠的。”辩证唯物主义认为，运动与静止是对立统一的辩证关系。一方面，运动与静止的对立表现在：运动是绝对的，静止是相对的，二者相互区别，不可混淆。所谓运动是绝对的是说，运动是物质的根本属性，任何事物在任何条件下都是永恒运动的，是无条件的。所谓静止是相对的是说，静止是运动在特定条件下的特殊状态，是有条件的。另一方面，运动与静止的统一表现在：运动和静止是相互依存、相互贯通的，即所谓动中有静、静中有动。在运动与静止关系上有两种形而上学的错误：一种是割裂运动与静止的关系，否认运动，只讲静止，将静止绝对化的形而上学不动论；一种是割裂运动与静止的关系，只讲运动，否认静止的形而上学相对主义和诡辩论。
那个龟兔赛跑的悖论已经解决了。告诉你一个故事（改编的—）
相传唐僧西天取经途中孙猴子曾被猪呆子给狠狠骗了一回。不信的话跟我来吧！
有一天，唐僧叫悟空前去化斋，但他很不愿意，于是叫来八戒要跟他赛跑，输了就代他去化斋，八戒当然不愿意（不能使用武功也不能玩阴的），但唐僧同志听了立刻举双手双脚表示同意（他自从离开大唐就没有见过这样的比赛了）。师命如山，不可违抗。自己就当是锻炼一下身体。结果很明显——八戒赢了。？？？悟空自然跑得比八戒快，所以他决定让自己这位师弟一下——让他先跑10米。突然听到此消息，八戒当场宣布自己已经获胜，无需再比了。众人不解，忙问八戒为何如此。八戒说到：“师兄啊师兄，你真是太蠢了。”悟空大怒。八戒道：“只要我说出了理由，从今往后都是你去化斋，行不？”“可以”悟空不耐烦了。接下来猪兄向我们展现了他这辈子最聪明的一面——
你让我先跑，对吧！
对。
但是只要你追到我前一刻所在位置时，我已经又向前跑了一段距离了，是不是？
是。
那么以此类推，你是不是将永远落后于我呢？
?。“ 。“ 。∥蚩站荆何裁椿嵴庋浚浚?br />（此时在一旁的唐僧也不解了—-自己念了那么多经，为何连这个如此简单的问题都不懂？？?）
悟空带着满腔悲愤，抱起斋碗干活去了。看到这一幕，我们组的全体同学都生气了——堂堂一只猴却被一只猪欺负了。于是吾等便化作五位老农截住了悟空：你被骗了！
“什么？！”悟空狂吼。
我们跟你解释一下吧！
其实你中了猪八戒的圈套是因为你不了解时间的无限性和位移的无限性。最简单的方法：猪八戒说只要你追上了他前一时刻所在位置，他就又向前跑了一段距离。但是这是错的。
为何有错？——悟空不解。
因为有可能你追到他前一时刻所在位置时，他并未移动，只是刚刚抬起猪脚?。?br />?。“ 。“?又是三声惊呼——猪八戒这回完了！
以上便是芝诺悖论的中国版本。
那叫阿基里斯与龟，你直接百度好了
4、龟兔赛跑谬论这是个很有名的数学悖论，阿基里斯与龟的悖论..不只是你一个人想不通，以前很多数学家也不是一下能搞明白的。涉及到初等数学，极限等概念（到高中差不多能看懂），而且这个悖论只能反证，鉴于你小学二年级..很难说明白。我把找来的原文摘录下来，你有兴趣可以看看。
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阿基里斯(Achilles)悖论
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多?。灰诠瓴煌５胤芰ο蚯芭?，阿基里斯就永远也追不上乌龟！
“乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。”
如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的" 1-0.999…>0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1-0.999…=0, 但1-0.999…>0"思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999…=0, 或1-0.999…>0"思想。
有人解释道：若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。
芝诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑到终点。
类似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题，我们可以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间，那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢？然而问题出在这里：我们在这里有一个假定，那就是假定阿基里斯最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。上面说到无穷个步骤是难以完成。
以上初等数学的解决办法，是从结果推往过程的。悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远，在于这个芝诺与我们采取了不同的时间系统。人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而芝诺的解释则采取了离散的时间系统。即无论将时间间隔取的再小，整个时间轴仍是由有限的时间点组成的。换句话说，连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限。
其实这归根到底是一个时间的问题。譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m 。实际情况是阿基里斯必然会在100/9秒之后追上乌龟。按照悖论的逻辑，这100/9秒可以无限细分，给我们一种好像永远也过不完的印象。但其实根本不是如此。这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完这1秒，因为无论时间再短也可无限细分。但其实我们真的就永远也过不完这1秒了吗？显然不是。尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但其实时间的流动是匀速的， 1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无?。?其实加起来只是个常数而已，也就是1秒。所以说，芝诺的悖论是不存在的。
你的概念，我个人的理解是，完全每一段的起点和终点把时间禁锢在一个点上，时间不变的前提上，虽然兔子的速度比乌龟快。但是兔子是不可能超过乌龟的，应为时间为0 ，所以不管怎样在那个片段的时间段里，乌龟和兔子在时间为0的基础上，兔子就不可能追上乌龟，然后就是你说到了下一个点，乌龟和兔子的时间也是停留在那个片段，兔子在后，乌龟在前，所以兔子永远也追不上乌龟，不知道我这解释如何..
通过的时间不一样啊….点能组成线，乌龟经过这线的时间比兔子慢..由于这个谬论讨论的是点.也就是时刻所以把时间忽略了
时间是事件发生到结束的时刻间隔。也就是说时间是一段一段的物理学中的时间和生活中所说的时间是不一样的生活中的时间准确的来讲是时刻是点时间
假设乌龟距离他100米，乌龟每秒跑一米他每秒跑十米，每次相差九米，要超过乌龟要用11.111111…秒，就算是11.12秒，但是像这个逻辑，他们跑的时间，始终没有11.12秒，所以不可能超过。
时间不可以无限分割它这样算下去永远到不了追上的那个时间
如果只把乌龟所在的点视为终点，兔子跑到乌龟原来那点上，乌龟移动，终点就变了，兔子也就没有到达乌龟所在的终点。
5、请解释阿吉利斯悖论,关于龟兔赛跑的故事阿吉利斯悖论（Achilles Paradox）
这是由古希腊哲人芝诺（Zenon of Eleates）提出的一个经典悖论。阿吉利斯是古希腊神话中善跑如飞的英雄。阿吉利斯悖论就是说如果乌龟先跑让阿吉利斯追赶乌龟，他却永远追不上。
因为无论阿基里斯跑得多快，他必须先跑完从他出发的起点到乌龟当下距离的一半，等他赶完这段路程，乌龟又往前挪动了一些，他则必须再追其间的一半，如此一往，永无止境，尽管阿基里斯会离乌龟越来越近，但他不可能穷尽那个没有尽头的二分法论证，因此他终究不可能追上前面的乌龟。比方说，阿吉利斯的速度是乌龟的10倍，龟在前面100米处，当阿吉利斯跑了100米到乌龟出发点时龟已向前走了10米，阿氏追10米，龟又走了1米，阿氏再追1米，龟又向前走了0.1米…… 这样永远隔一小段距离，所以总也赶不上。
这与我们的常理当然是相背离的。芝诺还说“飞矢不动”，他认为，既然一支箭在静止状态下一定要占据一个和它自身大小相同的位置，那么，如果它在运动的任一瞬间仍然照样占据着同等的空间，则飞矢的过程便只是许多静止的点的集合，所以飞矢在总体上是不动的，倘若说它在动，那就等于承认它同时在这一点上又不在这一点上这一矛盾，因此是不可能的。诸如此类的“芝诺命题”看似荒唐，却包含着对“时间与空间”、“运动与静止”等等问题的根本质疑，并具有深刻的逻辑合理性，由此引发西方后来的哲学家不停地探讨这些问题，直到两千多年后的黑格尔和爱因斯坦仍然不得不继续思考它。说起来，庄子在《天下篇》中也谈到惠子提出过类似话题：“飞鸟之景，未尝动也”；“镞矢之疾而有不行不止之时”；“一尺之捶，日取其半，万世不竭”等等。
【阿基里斯与龟悖论解释,为什么说阿基里斯追不上乌龟】第一个悖题：但是这个所谓的无限是有极限的，极限就是1/9，那么就是说这所谓的“永远”其实是发生在小到惊人的一霎那，在真实世界中绝不会有人跑个万分之一米给你看
飞失不动则是从另一个方向考虑，箭的结构并没有改变，所以箭相对于自己是不运动的没错，但是，没有绝对的运动也没有绝对的静止，运动与静止实现相对的（出自相对论、平行宇宙论、牛顿定律等处），也就是说，箭虽然相对自己没有运动，但时间相对于其他物体在运动
也就是说可以这么解释：如果你说箭是不动得，那么就必须承认其他物体在运动，如果你说其他物体是不动的，那箭就在动，因为它们之间的运动与否是相对的