三角形的五心及其性质是什么…( 三 ) _角形

则，s(▲boc)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3s(▲abc)；同理可证s(▲aoc)=1/3s(▲abc)，s(▲aob)=1/3s(▲abc)
所以，s(▲boc)=s(▲aoc)=s(▲aob)3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
(等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
平面上任意一点为（x ， y）
则该点到三顶点距离平方和为：
(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2最终得出结论。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(x1+x2+x3)/3
纵坐标：(y1+y2+y3)/3
竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。
中点的性质是：
1、等腰三角形三线合一（底边中点），直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
2、三角形的中位线(三角形两边的中点的连线)平行且等于第三边的一半。
在线段AC上，若AF=CF，则F为AC中点，反之亦然。
扩展资料：

几何中的著名定理：
1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）
2、射影定理（欧几里德定理）
3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分。
4、四边形两边中心的连线与两条对角线中心的连线交于一点。
5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点。
三角形重心的性质如下：
三角形重心是三角形三条中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
性质证明
证明一
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 。
例：已知：△ABC，E、F是AB ， AC的中点。EC、FB交于G 。
求证：EG=1/2CG
证明：过E作EH∥BF交AC于H 。
∵AE=BE，EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴HF:CF=1/2
∵EH∥BF
∴EG:CG=HF:CF=1/2
∴EG=1/2CG
方法二连接EF
利用三角形相似
求证：EG=1/2CG 即证明EF=1/2BC
利用中位线可证明EF=1/2BC
证明二
证明二
即EG=1/2CG
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明方法：
在△ABC内，三边为a，b，c ，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：