三角形的五心及其性质是什么…( 四 ) _角形

OA'=1/3AA'
OB'=1/3BB'
OC'=1/3CC'
过O，A分别作a边上高OH'，AH
可知OH'=1/3AH
则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC
同理可证S△AOC=1/3S△ABC
S△AOB=1/3S△ABC
所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。（等边三角形）
证法一：
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x0，y0）则该点到三顶点距离平方和为：
(x1-x0)2+(y1-y0)2+(x2-x0)2+(y2-y0)2+(x3-x0)2+(y3-y0)2
=3x02-2x0(x1+x2+x3)+3y02-2y0(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32
=3[x0-1/3(x1+x2+x3)]2+3[y0-1/3(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时
上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2
最终得出结论。
证法二：由性质8（卡诺重心定理）可得出结论。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，
即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；
空间直角坐标系——X坐标：(X1+X2+X3)/3，Y坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，Z坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
图1
图1
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
证明：如图1所示，点P是△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，作点P到BC、AC、AB的垂线段，垂足分别为D、E、F，延长AP交BC于M 。记△ABC的面积为S ， BC为a，AC为b，AB为c，PD为a'，PE为b'，PF为c' 。
∵aa'/2+bb'/2+cc'/2=S△BCP+S△ACP+S△ABP=S
∴aa'+bb'+cc'=2S
由均值不等式知，[(aa'+bb'+cc')/3]^3≥aa'bb'cc'=(abc)(a'b'c') ，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。
∴a'b'c'≤[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(2S/3)^3/(abc)=8S^3/(27abc) ，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。
∴a'b'c'只有当aa'=bb'=cc'时才会取得最大值。
此时，S△ABP=cc'/2=bb'/2=S△ACP ，由燕尾定理知，BM/CM=S△ABP/S△ACP=1 。
∴此时BM=CM，M是BC的中点， AM是△ABC的中线，P在△ABC中BC边的中线上。
同理可证此时P在△ABC中AB、AC边的中线上。
∴当a'b'c'最大时，P是△ABC的重心，即重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。
7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O ，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
8、卡诺重心定理：若G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^2
证明：GA^2 + PG^2 = PA^2 + 2GAPGcos(AGP)
GB^2 + PG^2 = PB^2 + 2GBPGcos(BGP)
GC^2 + PG^2 = PC^2 + 2GCPGcos(CGP)
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GAcos(AGP) + GBcos(BGP) + GCcos(CGP)]