如何用抛物线求焦点弦公式

文章插图
焦点弦公式2p/sina^2
证明：设抛物线为y^2=2px(p>0),过焦点f(p/2,0)的弦直线方程为y=k(x-p/2),直线与抛物线交于a（x1,y1),b(x2,y2)
联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px,整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0
所以x1+x2=p(k^2+2)/k^2
由抛物线定义，af=a到准线x=-p/2的距离＝x1+p/2,
bf=x2+p/2
所以ab=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a
抛物线四种方程的异同
一、共同点：
①原点在抛物线上，离心率e均为1②对称轴为坐标轴；
③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4
【如何用抛物线求焦点弦公式】二、不同点：
①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；
②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。
焦点坐标的计算公式是p/2，平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线，焦点坐标和准线方程是圆锥曲线的两个主要参数。平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
抛物线焦点坐标公式
几何领域的抛物线焦点弦弦长公式定义：如果一条倾斜角为α的直线过抛物线焦点F，并交抛物线于A 。B两点，则AB的长度为2P/(sinα)2（即2P除以sinα的平方）。
双曲线焦点坐标公式
焦点在x轴（-c,0）、（c,0）；焦点在y轴：（0,-c）、（0,c）。双曲线有两个焦点，焦点的横（纵）坐标满足c=a+b 。平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e((e>1) ，即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线。
焦点在x轴（-c,0）、（c,0）；焦点在y轴：（0,-c）、（0,c）。双曲线有两个焦点，焦点的横（纵）坐标满足c=a+b 。平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e((e>1)，即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线。
椭圆焦点坐标公式
椭圆焦点坐标公式是a^2-b^2=c^2，其中a为长轴长， b为短轴长，c为焦距。如果长轴长在x轴上的话，焦距为(C，0)，(-C ， 0），如果长轴长在y轴上的话，焦距为（0 ， C) ， (0 ， -C) 。
在数学中，椭圆是平面上到两个固定点的距离之和是常数的轨迹。这两个固定点叫做焦点。