微分中值定理|如何理解三大微分中值定理？

微分中值定理（如何理解三大微分中值定理？）
罗尔定理，太难了?

拉格朗日定理，太难了?

柯西中值定理，太难了?

微分中值定理难吗？
如果你觉得难，那你一定得看看以下文字了，简明扼要，通俗易懂。
前言

微分中值定理是很重要的基础定理，很多定理都是以它为基础进行证明的。

1 罗尔中值定理
1.1 直觉

往返跑：
可以认为他从

点出发，经过一段时间又回到了

点，画成

（位移-时间）图就是：

根据常识，因为要回到起点，中间必定有速度为0的点：

拳击比赛中，步伐复杂：

但不论怎样，只要最后回到起点，中间必定有速度为0的点：

这就是罗尔中值定理。

1.2 罗尔中值定理
设函数满足以下三个条件：
在闭区间 [a,b] 上连续
在开区间 (a,b) 上可导

则存在

，使得

。

在闭区间 [a,b] 连续是必须的，否则有可能没有

在开区间 (a,b) 可导也是必须的：

1.3 拓展
定理中的条件“

在闭区间 [a,b] 连续、在开区间(a,b) 可导”是否可以更改为“

在闭区间 [a,b] 连续、在闭区间[a,b] 可导”？

不行，这两者并非同一个条件，举一个反例：

此函数在图像如下：

此函数就是在 [1,0] 连续，(1,0) 可导，在端点 x=0,1 处导数不存在（类似于

在0点处不可导，可自行证明）。

2 拉格朗日中值定理
来看下交通管理中的区间测百思特网速：

时间

采集到汽车的位移为

，时间

采集到汽车的位移为

：

可以据此算出平均速度

比如算出来平均速度为 70km/h ，平均速度是由瞬时速度叠加的结果，那么路程中的瞬时速度可能为：
匀速前进：那么整个路程的瞬时速度必然全为 70km/h
变速前进：整个路程的瞬时速度必然有大于、等于、小于 70km/h 的情况