一元n次方程的解有哪些特征( 二 )

伽罗瓦通过改进拉格朗日的思想，把预解式的构成同置换群联系起来，发展了阿贝尔的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。这个理论的大意是：每个方程对应于一个含有方程全部根的域（伽罗华域），这个域对应于这个方程根的置换群（伽罗华群）。一个方程的伽罗华群是可解群当且仅当这方程是根式可解的。作为这个理论的推论，可以得出五次以上一般代数方程根式不可解，以及用尺规作图中“三等分任意角”和“倍立方”问题不可能等结论。
微分方程的解根据方程类型而定，以下为具体解法。
一、一阶微分方程
1可分离变量方程
若一阶微分方程y'=f(x,y)可以写成dy/dx=p(x)q(y),则称之为可分离变量方程，分离变量得dy/q(y)=p(x)dx,两边积分∫dy/q)(y)=∫p(x)dx即可得到通解。
2齐次方程
将齐次方程通过代换将其化为可分离变量方程。令u=y/x,即y=ux,则dy/dx=u+xdu/dx,齐次方程dy/dx=φ（y/x）化为u+xdu/dx=φ(u)，分离变量得du/φ(u)-u=dx/x,两边积分
∫du/φ(u)-u=∫dx/x后即得齐次方程的通解。
3一阶线性方程
对于一阶线性方程y'+P(x)y=Q(x)的通解为y= e ^-∫P（x）dx (∫Q(x)e ^∫P（x）dx+C)
4伯努利方程
【一元n次方程的解有哪些特征】伯努利方程y'+P(x)y=Q(x)y^n(n∈R,n≠0，1)的通解为z=y^1-n= e ^-∫(1-n)P（x）dx (∫(1-n)Q(x)e ^∫(1-n)P（x）dx dx+C)
二、可降阶的二阶微分方程
y”=f(x)型方程——缺y，y'
对于此类方程，只要连续积分两次，即可得原方程的通解
y”=f(x，y')型方程——缺y
令y'=p，则y''=p'=dp/dx，原方程降为p(x)的一阶方程p'=f(x,p)设其通解为
p=φ(x，C1)，即y'=φ(x，C1) ，两边积分即可得原方程的通解y= ∫φ(x，C1)dx+C2
y”=f(y，y’)型方程——缺x
具体变换过程如下：
令y'=p,则y''=p'=dp/dx=pdp/dx,原方程降为一阶方程pdp/dy=f(y,p)
设其通解为p=φ(y，C1),分离变量有 dy /φ(y,C1)=dx ，两边积分即得其通解为
∫dy/φ(y,C1)x+C2
三、二阶线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程y''+py'+qy=0，根据其特征方程r^2+pr+q=0根不同情况，其通解有以下三种形式：
(1)特征方程r2+pr+q=0有两个不相等的实根 r1,r2时，通解为Y=C1e^r1x+C2e^r2x
(2)特征方程r2+pr+q=0有两个相等的实根r时，通解为Y=(C+C2x)e^rx
(3)特征方程r2+pr+q=0有一对共轭复根r=a±iβ时，通解为Y=e^αx (C1cos βx+C2sin βx)