一元n次方程的解有哪些特征

文章插图
韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里主要讲一下一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程ax＾2+bx+c=0(a≠0且b＾2-4ac≥0）中,两根
x1
,
x2
有如下关系:
x1+x2=-b/a;
x1x2=c/a
　一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0
且△=b^2-4ac≥0)中
设两个根为x1和x2
则x1+x2=
-b/a
x1x2=c/a
用韦达定理判断方程的根
若b^2-4ac>0
则方程有两个不相等的实数根
若b^2-4ac=0
则方程有两个相等的实数根
若b^2-4ac≥0则方程有实数根
若b^2-4ac<0
则方程没有实数解
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑aix^i=0
它的根记作x1,x2…,xn
我们有
∑xi=(-1)^1a(n-1)/a(n)
∑xixj=(-1)^2a(n-2)/a(n)
…
πxi=(-1)^na(0)/a(n)
其中∑是求和，π是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是，那么
由代数基本定理可推得：任何一元
n
次方程
在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
(x1-x2)的绝对值为(根号下b^2-4ac)/（a的绝对值）
一元n次方程有n个根，包括实根虚根。一元n次方程，存在无实数解的情况。如果有实数，那么n次方程就有n个实数根。这n个实数根，可能互不相等，也可能相等。
例如：
一元二次方程，如果判别式小于0，那就没有实数根。如果判别式等于0，那就有2个相等的实数根；如果判别式大于0，那就有2个不相等的实数根。
一元N次多项式的n个根，意味着多项式可以分解因式：a(x-x1)(x-x2)(x-xn)
系数比较得到：
a=N次项系数
-a(x1+x2++xn)=(N-1)次项系数
所以所有根之和是 (N-1)次项系数和 N次项系数之商的相反数。
没有
这个问题是5次以上方程就没有通解了
1829－1831年，伽罗瓦（法，1811－1832年）完成的几篇论文中，首创了现在称为置换群的思想，建立了判别方程根式解的充分必要条件，从而宣告了方程根式解这一经历了300年的难题的彻底解决。