射影定理具体内容 _射影「问人人知识网」

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直角三角形射影定理（又叫欧几里德(euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式
，对于rt△abc，∠bac=90度，ad是斜边bc上的高，则有射影定理如下：（ad）^2=bd·dc，（1）（ab）^2=bd·bc，（2）（ac）^2=cd·bc
。（3）这主要是由相似三角形来推出的，例如（ad）^2=bd·dc：
【射影定理具体内容】射影定理如下：
①CD2=AD·BD
②AC2=AD·AB
③BC2=BD·AB
④AC·BC=AB·CD
验证推导如下
证明：①∵CD2+AD2=AC2,CD2+BD2=BC2
∴2CD2+AD2+BD2=AC2+BC2
∴2CD2=AB2-AD2-BD2
∴2CD2=(AD+BD)2-AD2-BD2
∴2CD2=AD2+2AD·BD+BD2-AD2-BD2
∴2CD2=2AD·BD
∴CD2=AD·BD
②∵CD2=AD·BD(已证)
∴CD2+AD2=AD·BD+AD2
∴AC2=AD·(BD+AD)
∴AC2=AD·AB
③BC2=CD2+BD2
BC2=AD·BD+BD2
BC2=(AD+BD)·BD
BC2=AB·BD
∴BC2=AB·BD
④∵S△ACB=1/2 AC×BC=1/2 AB·CD
∴ 1/2AC·BC= 1/2AB·CD
∴AC·BC=AB·CD
参考资料来源：百度百科-射影定理
简单点说可以用三角形相似来证明
在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°
∴∠ABD=∠C，
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD
∴ AD/BD=BD/CD
即BD2=AD·DC 。其余同理可得可证[1]
有射影定理如下：
AB2=AD·AC，BC2=CD·CA
两式相加得：
AB2+BC2=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC2。[1]
用勾股定理证射影定理
∵AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,
∴2AD2=AB2+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BC+BD)(BC-BD)-CD2=(BC+BD)CD-CD2=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD
故AD2=BD×CD
运用此结论可得:AB2=BD2+AD2=BD2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,
AC2 =CD2+AD2=CD2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB